Probability

概率 (Probability)

• 定义: 概率是衡量事件发生可能性的数值，范围从 0 到 1。
• 公式: $P(A)=\frac{\text{事件 A 发生的次数}}{\text{总次数}}$

条件概率 (Conditional Probability)

• 定义: 在事件 $B$ 已经发生的条件下，事件 $A$ 发生的概率。
• 公式: $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
• 前提条件: 事件 $B$ 已发生且 $P(B)\ne 0$。

联合概率 (Joint Probability)

• 定义: 两个或多个事件同时发生的概率。
• 公式: $P(A\cap B)$
• 前提条件:
  • 对于相关事件：$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$
  • 对于独立事件：$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

全概率公式 (Total Probability Theorem)

• 定义: 计算一个事件在所有可能条件下发生的总概率。
• 公式: $P(B)=\sum P(B|A_i)\cdot P(A_i)$
• 前提条件: 事件 $A_i$ 形成一个完备事件组。

贝叶斯定理 (Bayes’ Theorem)

• 定义: 根据已知的结果更新某事件的概率。
• 公式: $P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}$
• 前提条件: 需要已知 $P(A)$, $P(B|A)$, 和 $P(B)$。

运算和关系

独立事件 (Independent Events)

• 定义: 两个事件 $A$ 和 $B$ 的发生彼此没有影响。
• 关系: $P(A|B)=P(A)$ 或 $P(B|A)=P(B)$
• 联合概率: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

互斥事件 (Mutually Exclusive Events)

• 定义: 两个事件 $A$ 和 $B$ 不能同时发生。
• 关系: $P(A\cap B)=0$
• 联合概率: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

相关事件 (Dependent Events)

• 定义: 一个事件的发生会影响另一个事件的发生。
• 关系: $P(A|B)\ne P(A)$
• 联合概率: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$

示例和计算

背景问题

一个园丁种植了三种花的种子，分别是 A、B 和 C。A 类种子占 48%，B 类种子占 32%，C 类种子占 20%。我们知道：

• 90% 的 A 类种子会发芽。
• 30% 的 B 类种子会发芽。
• 60% 的 C 类种子会发芽。

树状图

• $P(A)=0.48$
• $P(B)=0.32$
• $P(C)=0.20$
• $P(G|A)=0.90$
• $P(G|B)=0.30$
• $P(G|C)=0.60$
• $P(\overline{G}|A)=0.10$
• $P(\overline{G}|B)=0.70$
• $P(\overline{G}|C)=0.40$

树状图解释

• 根节点：种子类型（A、B、C）
• 分支：发芽 (G) 或不发芽 ($\overline{G}$)

问题与计算

1. 计算事件 A 和 G 的联合概率

问题：计算种子类型为 A 且发芽的概率 $P(A\cap G)$。

解答：

$$P(A\cap G)=P(A)\cdot P(G|A)=0.48\cdot 0.90=0.432$$

2. 使用全概率公式计算 $P(G)$

问题：计算种子发芽的总概率 $P(G)$。

解答：

$$P(G)=P(G|A)\cdot P(A)+P(G|B)\cdot P(B)+P(G|C)\cdot P(C)$$ $$P(G)=0.90\cdot 0.48+0.30\cdot 0.32+0.60\cdot 0.20$$ $$P(G)=0.432+0.096+0.12=0.648$$

3. 使用贝叶斯定理计算 $P(A|G)$

问题：计算在种子发芽的情况下，种子类型为 A 的概率 $P(A|G)$。

解答：

$$P(A|G)=\frac{P(G|A)\cdot P(A)}{P(G)}=\frac{0.90\cdot 0.48}{0.648}=\frac{0.432}{0.648}=0.6667$$

4. 计算 $P(\overline{G})$

问题：计算种子不发芽的总概率 $P(\overline{G})$。

解答：

$$P(\overline{G})=1-P(G)=1-0.648=0.352$$

5. 使用全概率公式计算 $P(\overline{G})$

问题：计算种子不发芽的总概率 $P(\overline{G})$。

解答：

$$P(\overline{G})=P(\overline{G}|A)\cdot P(A)+P(\overline{G}|B)\cdot P(B)+P(\overline{G}|C)\cdot P(C)$$ $$P(\overline{G})=0.10\cdot 0.48+0.70\cdot 0.32+0.40\cdot 0.20$$ $$P(\overline{G})=0.048+0.224+0.08=0.352$$

树状图示例

                    +--- G (0.90)
        +--- A (0.48)
        |           +--- not G (0.10)
        |
        |           +--- G (0.30)
        +--- B (0.32)
        |           +--- not G (0.70)
        |
        |           +--- G (0.60)
        +--- C (0.20)
                    +--- not G (0.40)

概率分布

离散概率分布（Discrete Probability Distributions）

• 二项分布（Binomial Distribution）: $$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$$ 其中 $n$ 是试验次数，$k$ 是成功次数，$p$ 是单次试验成功的概率。
• 泊松分布（Poisson Distribution）: $$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$$ 其中 $\lambda$ 是在固定区间内发生的平均次数。

连续概率分布（Continuous Probability Distributions）

• 正态分布（Normal Distribution）: $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$ 其中 $\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差。

示例

示例1：二项分布概率

一个公平的硬币翻10次。计算恰好出现6次正面的概率。

$$P(X=6)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{6}\right)(0.5{)}^6(0.5{)}^4=\frac{10!}{6!4!}\times 0.015625=0.205$$

示例2：正态分布

学生的身高服从均值为170厘米，标准差为10厘米的正态分布。计算一个学生身高超过180厘米的概率。

$$P(X>180)=P\left(Z>\frac{180-170}{10}\right)=P(Z>1)\approx 0.1587$$

示例3：使用贝叶斯公式

在某人群中，5%的人患有某种疾病。一个测试的敏感度为99%，特异度为95%。计算一个人测试阳性后患病的概率。

$$P(D|T)=\frac{P(T|D)P(D)}{P(T)}=\frac{0.99\times 0.05}{(0.99\times 0.05)+(0.05\times 0.95)}\approx 0.51$$

题型总结

题型1：离散概率分布

例子：Weka 鸟蛋问题 一个 Weka 鸟每次下0-5个蛋，给定各个蛋数的概率。计算预期下蛋数。

$$E(X)=0\times 0.05+1\times 0.1+2\times 0.2+3\times 0.4+4\times 0.15+5\times 0.1=2.8$$

题型2：连续概率分布

例子：Tūī 飞行距离 Tūī 的飞行距离服从均值为1000米，标准差为100米的正态分布。计算 $P(X<700)$。

$$P(X<700)=P(Z<-3)\approx 0.0013$$

题型3：条件概率和贝叶斯定理

例子：学生使用尼古丁和饮酒 给定使用尼古丁和饮酒的概率，计算 $P(N|A)$。

$$P(N|A)=\frac{P(A\cap N)}{P(A)}=\frac{0.2\times 0.93}{0.2\times 0.93+0.8\times 0.7}\approx 0.21$$

总结

理解概率和集合运算的基本概念和规则，对于解决复杂的概率问题至关重要。通过掌握并集、交集和补集，以及应用加法规则、条件概率、全概率公式和贝叶斯公式，可以有效地进行概率计算和问题分析。希望这个教程能够帮助你更好地理解概率论的基本概念和运算规则。如果有任何问题或需要进一步的解释，请随时告诉我！