Confidence Interval

Confidence Interval （置信区间）

基本概念

置信区间是一个范围，用于估计总体参数（如均值、比例等）。置信区间提供了一种测量不确定性的方式，它通过样本数据来估计总体参数，并给出了一个范围，其中包含总体参数的可能性非常高。

• 置信水平（Confidence Level）：置信区间包含总体参数的概率。常见的置信水平有95%和99%。例如，一个95%的置信区间表示有95%的信心总体参数落在这个区间内。

单样本推断（Single Sample Inference）

均值的置信区间

$\bar{x}\pm t^{\ast }\cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$

• $\bar{x}$：样本均值
• $t^{\ast }$：t分布的临界值，对于自由度 $n-1$
• $s$：样本标准差
• $n$：样本大小

均值的检验统计量

$t=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}$

• ${\mu }_0$：假设的总体均值

比例的置信区间

$\hat{p}\pm z^{\ast }\cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

• $\hat{p}$：样本比例
• $z^{\ast }$：标准正态分布的临界值

比例的检验统计量

$z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$

• $p_0$：假设的总体比例

两样本推断（Two Sample Inference）

独立样本（Independent Samples）

均值差异的置信区间

${\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2\pm t^{\ast }\cdot \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}$

• ${\bar{x}}_1$和${\bar{x}}_2$：两个样本的均值
• $t^{\ast }$：t分布的临界值
• $s_1$和$s_2$：两个样本的标准差
• $n_1$和$n_2$：两个样本的大小

均值差异的检验统计量

$t=\frac{{\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}$

配对样本（Paired Samples）

配对均值差异的置信区间

${\bar{x}}_d\pm t^{\ast }\cdot \frac{s_d}{\sqrt{n_d}}$

• ${\bar{x}}_d$：配对差值的均值
• $t^{\ast }$：t分布的临界值
• $s_d$：配对差值的标准差
• $n_d$：配对样本的数量

配对均值差异的检验统计量

$t=\frac{{\bar{x}}_d}{s_d/\sqrt{n_d}}$

比例差异的置信区间

${\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2\pm z^{\ast }\cdot \sqrt{\frac{{\hat{p}}_1(1-{\hat{p}}_1)}{n_1}+\frac{{\hat{p}}_2(1-{\hat{p}}_2)}{n_2}}$

• ${\hat{p}}_1$和${\hat{p}}_2$：两个样本的比例
• $z^{\ast }$：标准正态分布的临界值

比例差异的检验统计量

$z=\frac{({\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2)}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}$

• $\hat{p}$：合并比例，$\hat{p}=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2}$

实例计算

单样本均值的置信区间

假设我们有一个样本，样本均值为$\bar{x}=50$，标准差为$s=10$，样本量为$n=100$。

• 95%置信区间计算： $50\pm 1.96\cdot \frac{10}{\sqrt{100}}=50\pm 1.96\cdot 1=[48.04,51.96]$

单样本比例的置信区间

假设我们有一个样本，样本比例为$\hat{p}=0.6$，样本量为$n=200$。

• 95%置信区间计算： $0.6\pm 1.96\cdot \sqrt{\frac{0.6\cdot (1-0.6)}{200}}=0.6\pm 1.96\cdot 0.0346=[0.531,0.669]$

总结

置信区间提供了一种估计总体参数（如均值、比例等）的范围的方法，反映了估计的可靠性和变异性。通过理解正态分布的性质，可以更好地理解置信区间的计算和解释。