Interpolation and Extrapolation

概念

Interpolation（插值）：在已知数据点之间估算未知数据点的值。假设已知数据点之间的变化是平滑且可预测的。

Extrapolation（外推）：在已知数据点范围之外预测未知数据点的值。假设已知数据点的模式和趋势在未知范围内继续有效。

原理

Interpolation：插值方法通过已知数据点之间的关系，推测或计算出数据点之间的值。常用的方法包括线性插值、多项式插值和样条插值。

Extrapolation：外推方法利用已知数据的趋势和模式，预测数据范围之外的值。常用的方法包括线性回归、多项式回归和指数回归。

常用方法

Interpolation

1. 线性插值（Linear Interpolation）：

   $$y=y_0+\frac{(y_1-y_0)}{(x_1-x_0)}\cdot (x-x_0)$$

2. 多项式插值（Polynomial Interpolation）：

   $$P(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n$$

3. 样条插值（Spline Interpolation）：

   • 三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）
   $$S(x)=a_i+b_i(x-x_i)+c_i(x-x_i{)}^2+d_i(x-x_i{)}^3$$

Extrapolation

1. 线性回归（Linear Regression）：

   $$y=a\cdot x+b$$

2. 多项式回归（Polynomial Regression）：

   $$y=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n$$

3. 指数回归（Exponential Regression）：

   $$y=a\cdot e^{bx}$$

Python 实现

Interpolation

线性插值（Linear Interpolation）：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.interpolate import interp1d
 
# 已知数据点
x = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([0, 2, 4, 6, 8, 10])
 
# 线性插值函数
linear_interpolator = interp1d(x, y, kind='linear')
 
# 新数据点
x_new = np.linspace(0, 5, 50)
y_new = linear_interpolator(x_new)
 
# 可视化
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, y, 'o', label='Original Data')
plt.plot(x_new, y_new, '-', label='Linear Interpolation')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.title('Linear Interpolation Example')
plt.legend()
plt.show()

多项式插值（Polynomial Interpolation）：

# 多项式插值
poly_interpolator = np.poly1d(np.polyfit(x, y, deg=2))
y_poly_new = poly_interpolator(x_new)
 
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, y, 'o', label='Original Data')
plt.plot(x_new, y_poly_new, '-', label='Polynomial Interpolation')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.title('Polynomial Interpolation Example')
plt.legend()
plt.show()

样条插值（Spline Interpolation）：

from scipy.interpolate import CubicSpline
 
# 三次样条插值
spline_interpolator = CubicSpline(x, y)
y_spline_new = spline_interpolator(x_new)
 
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, y, 'o', label='Original Data')
plt.plot(x_new, y_spline_new, '-', label='Cubic Spline Interpolation')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.title('Cubic Spline Interpolation Example')
plt.legend()
plt.show()

Extrapolation

线性回归（Linear Regression）：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression
 
# 已知数据点
x_train = np.array([1, 2, 3, 4, 5]).reshape(-1, 1)
y_train = np.array([2, 4, 5, 4, 5])
 
# 创建线性回归模型并拟合数据
model = LinearRegression()
model.fit(x_train, y_train)
 
# 预测范围外的数据点
x_new = np.array([6, 7, 8]).reshape(-1, 1)
y_new = model.predict(x_new)
 
# 可视化
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.scatter(x_train, y_train, color='blue', label='Training Data')
plt.plot(x_train, model.predict(x_train), color='green', label='Regression Line')
plt.scatter(x_new, y_new, color='red', label='Extrapolated Data')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.title('Linear Regression and Extrapolation')
plt.legend()
plt.show()

多项式回归（Polynomial Regression）：

# 已知数据点
x_train = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y_train = np.array([2, 4, 5, 4, 5])
 
# 创建多项式回归模型并拟合数据
coefficients = np.polyfit(x_train, y_train, deg=2)
polynomial = np.poly1d(coefficients)
 
# 预测范围外的数据点
x_new = np.array([6, 7, 8])
y_new = polynomial(x_new)
 
# 可视化
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.scatter(x_train, y_train, color='blue', label='Training Data')
plt.plot(x_train, polynomial(x_train), color='green', label='Polynomial Regression')
plt.scatter(x_new, y_new, color='red', label='Extrapolated Data')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.title('Polynomial Regression and Extrapolation')
plt.legend()
plt.show()

指数回归（Exponential Regression）：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
 
# 定义指数函数
def exp_func(x, a, b):
    return a * np.exp(b * x)
 
# 已知数据点
x_train = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y_train = np.array([2, 4, 8, 16, 32])
 
# 拟合指数函数
params, covariance = curve_fit(exp_func, x_train, y_train)
 
# 预测范围外的数据点
x_new = np.array([6, 7, 8])
y_new = exp_func(x_new, *params)
 
# 可视化
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.scatter(x_train, y_train, color='blue', label='Training Data')
plt.plot(x_train, exp_func(x_train, *params), color='green', label='Exponential Regression')
plt.scatter(x_new, y_new, color='red', label='Extrapolated Data')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.title('Exponential Regression and Extrapolation')
plt.legend()
plt.show()