Cumulative Distribution Function

累积分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）

定义： 累积分布函数（CDF）是一个函数，用于描述随机变量$X$小于或等于某个特定值$x$的概率。对于一个随机变量$X$，其累积分布函数$F(x)$定义为：

$F(x)=P(X\le x)$

关键属性

1. 非负性： 对于任意的$x$，$F(x)\ge 0$。

2. 单调不减： 如果$x_1\le x_2$，那么$F(x_1)\le F(x_2)$。

3. 归一化： 当$x$趋向于负无穷时，$F(x)\to 0$；当$x$趋向于正无穷时，$F(x)\to 1$。

4. 右连续： $F(x)$是右连续的，即对于任意的$x$，${\lim }_{ϵ\to 0^{+}}F(x+ϵ)=F(x)$。

关系

• 与概率密度函数（PDF）的关系： 对于连续型随机变量$X$，其累积分布函数$F(x)$是概率密度函数$f(x)$的积分：

  $F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$

• 概率计算： 对于区间$[a,b]$上的概率，可以通过CDF计算：

  $P(a\le X\le b)=F(b)-F(a)$

常见分布的CDF

1. 正态分布（Normal Distribution）： 正态分布的CDF通常用累积分布函数$\Phi (x)$表示，没有简单的解析表达式，通常通过数值积分或查表获得。

   from scipy.stats import norm
   import matplotlib.pyplot as plt
   import numpy as np
    
   x = np.linspace(-5, 5, 1000)
   y = norm.cdf(x, 0, 1)  # 均值为0，标准差为1的正态分布
    
   plt.plot(x, y, label='Normal Distribution CDF ($\mu=0$, $\sigma=1$)')
   plt.title('Cumulative Distribution Function of Normal Distribution')
   plt.xlabel('x')
   plt.ylabel('CDF')
   plt.legend()
   plt.show()

2. 均匀分布（Uniform Distribution）：

   对于区间$[a,b]$上的均匀分布，CDF为：

   $$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{if }x<a\\ \frac{x-a}{b-a}& \text{if }a\le x\le b\\ 1& \text{if }x>b\end{array}$$

3. 指数分布（Exponential Distribution）：

   对于参数为$\lambda$的指数分布，CDF为：

   $$F(x)=\{\begin{array}{ll}1-\exp (-\lambda x)& \text{if }x\ge 0\\ 0& \text{if }x<0\end{array}$$

   from scipy.stats import expon
   import matplotlib.pyplot as plt
   import numpy as np
    
   lambda_param = 1
   x = np.linspace(0, 5, 1000)
   y = expon.cdf(x, scale=1/lambda_param)
    
   plt.plot(x, y, label='Exponential Distribution CDF ($\lambda=1$)')
   plt.title('Cumulative Distribution Function of Exponential Distribution')
   plt.xlabel('x')
   plt.ylabel('CDF')
   plt.legend()
   plt.show()

应用

• 统计学和数据分析： CDF用于计算特定区间的概率，进行统计推断。
• 可靠性工程： 通过CDF分析产品寿命和故障率。
• 金融工程： CDF用于风险评估和金融工具定价，如期权定价中的二项模型和布莱克-斯科尔斯模型。

总结

累积分布函数（CDF）是描述随机变量分布的重要工具，通过它可以计算随机变量在特定区间内出现的概率，理解数据的分布特性。与概率密度函数（PDF）不同，CDF提供了随机变量累计概率的全貌，是概率论和统计学中的基本概念。