Cosine Similarity

概念

余弦相似度（Cosine Similarity） 是一种衡量两个向量之间相似度的指标，常用于文本分析、推荐系统、聚类分析等领域。它通过计算两个向量的夹角余弦值来判断它们的相似程度：

• 余弦相似度值范围：$[-1,1]$
  • 值为 1 表示完全相似（向量同方向）
  • 值为 0 表示不相似（向量垂直，即夹角90°）
  • 值为 -1 表示完全相反（向量方向相反）

使用场景

• 文本相似性：衡量两段文本的内容相似度。
• 推荐系统：在用户-物品推荐中，通过计算特征向量的相似性，推荐相似的物品或用户。
• 聚类分析：用于识别相似性较高的聚类簇。

数学计算方法

给定两个向量 $A$ 和 $B$，余弦相似度的公式为：

$$\text{cosine\_similarity}=\cos (\theta )=\frac{A\cdot B}{\Vert A\Vert \Vert B\Vert }$$

其中：

• $A\cdot B$ 表示向量的点积： $$A\cdot B=\sum _{i=1}^n{A}_i\times B_i$$
• $\Vert A\Vert$ 和 $\Vert B\Vert$ 分别是向量的模（长度），计算方法为： $$\Vert A\Vert =\sqrt{\sum _{i=1}^n{A}_i^2},\Vert B\Vert =\sqrt{\sum _{i=1}^n{B}_i^2}$$

举例

假设向量 $A=[1,2,3]$ 和 $B=[4,5,6]$，计算余弦相似度的步骤如下：

1. 计算点积：

   $$A\cdot B=(1\times 4)+(2\times 5)+(3\times 6)=32$$

2. 计算模：

   $$\Vert A\Vert =\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$$ $$\Vert B\Vert =\sqrt{4^2+5^2+6^2}=\sqrt{77}$$

3. 计算余弦相似度：

   $$\text{cosine\_similarity}=\frac{32}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{77}}\approx 0.9756$$

Python 计算方法

使用 numpy 库可以简单快速地计算余弦相似度：

# Aemon Wang
# Email: aemooooon@gmail.com
 
import numpy as np
 
# 定义两个向量 A 和 B
A = np.array([1, 2, 3])
B = np.array([4, 5, 6])
 
# 计算点积 A · B
dot_product = np.dot(A, B)
 
# 计算向量 A 和 B 的模
norm_A = np.linalg.norm(A)
norm_B = np.linalg.norm(B)
 
# 计算余弦相似度
cosine_similarity = dot_product / (norm_A * norm_B)
 
print("Cosine Similarity:", cosine_similarity)

解释

1. np.dot(A, B) 计算两个向量的点积。
2. np.linalg.norm(A) 和 np.linalg.norm(B) 分别计算向量 A 和 B 的模。
3. 将点积除以模的乘积即可得到余弦相似度。

输出

运行上述代码将输出：

Cosine Similarity: 0.974631846197